从一个骰子游戏说起
游戏规则：掷一颗骰子，掷出 6 点赢 100 元，其余点数什么都没有，门票 20 元。玩不玩？
直觉会去想手气，数学只做一件事：把每种结局乘上它的概率，再加总。赢 100 元的概率是六分之一，其余五种结局是零，所以这个游戏平均每玩一次值 100×1/6≈16.7 元。门票 20 元，每玩一次平均亏 3.3 元。玩一次可能赢，玩一万次几乎必亏，因为平均数会随着次数把结果拉向它自己。
这个平均数就是期望。它回答的问题很朴素：这件事反复做下去，平均一次值多少钱。
公式
期望 = 每种结局 × 各自的概率，全部加总。
只需要这一行。它的全部力量在于强迫人把两样东西同时摆上桌：赢多少，和多大概率赢。日常的判断失误，几乎都来自只盯着其中一样。
在投资里意味着什么
第一个用途是给游戏分类。彩票的返奖率印在规则里，卖出去的钱只有一部分进奖池，所以它是负期望游戏，买的每一张平均都在亏，头奖再大也改变不了这个符号。赌场同理。而一个分散的、有真实利润流入的投资组合，是正期望游戏。主线第二篇分辨投与赌，用的口径是钱的来路，换成本篇的语言就是一句话：一个期望为负，一个期望为正。正期望的游戏值得反复玩、长期玩，负期望的游戏一次都嫌多。
第二个用途是识破承诺。全社会的生意能长出来的利润有个大致的水位，一个产品承诺的收益若明显超过这个水位，又声称没有风险，它的期望在数学上就对不上账，缺口必然由别的东西补，主线第三篇 e租宝的案例里，补缺口的是后来者的本金。
第三个用途是提醒期望的边界。保险是负期望的：保费总体上高于赔付，否则保险公司无法存在。但给家庭支柱买定期寿险仍然是理性决策，因为期望只管平均，不管后果的轻重，小概率的毁灭性损失，值得用一点负期望去消除。反过来，彩票用负期望去买一个无关生死的惊喜，两件事符号相同，性质相反。期望是第一把尺子，不是唯一一把，另一把尺子叫方差，下一篇的主角。
哪些文章用到我
- L1-2《“炒股”这个词，坏了多少事》：投与赌的分界，就是期望的正负
- L1-3《风险和收益是同一枚硬币》：超出利润水位的承诺，期望对不上账
- L0-5《保险：先保障，后投资》：负期望但理性的经典案例
- 防骗栏《高息的代价》：庞氏结构的期望缺口