几何平均：亏 50% 要赚 100%

一支平均年化 25% 的基金

某产品的宣传页写着：近两年平均年化收益 25%。数据没造假：第一年涨 100%，第二年跌 50%，(100−50)÷2=25，平均 25%。

再看账户：1 万元第一年变 2 万，第二年腰斩，回到 1 万。两年平均 25% 的辉煌业绩，落袋收益为零。

两个数都是真的，错在平均的算法。加起来除以二，算的是算术平均；而账户里的钱是乘出来的，1×2×0.5=1，它长在另一种平均上。

几何平均收益 = 把每年的（1+收益率）连乘起来，开 n 次方，再减 1。

上面的例子：2×0.5=1，开平方还是 1，几何平均收益 0%。这才是账户真实的年均增速。两种平均之间有一个简洁的近似关系：几何平均 ≈ 算术平均 − 方差的一半。上一篇说波动是一种税，这就是税率表：波动的平方除以二，每年从算术平均里扣走。

第一，看业绩时认准几何。凡是把各年收益加总平均的说法，一律按算术平均处理，它系统性地夸大真实回报，波动越大的产品夸得越狠。正规的年化收益（CAGR）就是几何平均，下下篇收益率的算法里有它的完整版。

第二，理解亏损的不对称。几何世界里，跌与涨不是对称的：亏 10% 要赚 11% 回本，亏 20% 要赚 25%，亏 50% 要赚 100%，亏 90% 要赚 900%。跌得越深，回程按加速度变长。这张表值得存下来，它是主线第十篇仓位控制的数学地基：把最大亏损压浅一半，回本难度远不止减半。

第三，看懂分散的全部功劳。两只资产期望相同，凑在一起算术平均不变，方差却降了，按税率表，几何平均就升了。主线第八篇里中位结局从 5918 元升到 7834 元，升的正是几何平均。所谓免费午餐，精确的说法是：不动算术平均的分子，只砍方差这个减项。

第四，警惕高波动的长期陷阱。一个算术平均可观、但波动巨大的东西，几何平均可能是负的，也就是玩得越久越接近归零。年年在暴涨暴跌之间荡秋千的资产，宣传页上的平均收益可以很漂亮，账户的长期曲线却向下，原因全在减掉的那半个方差里。